Tecnicas de Conteo

Técnicas de Conteo:  

 *Diagrama de flujo   

*Permutaciones  

*Variaciones 

*Combinaciones        

Permutaciones  

Se llama permutaciones de "n" elementos a los diferentes grupos que se pueden  formar con esos elementos siguiendo las siguientes reglas:

1°Entran todos los elementos

2°Si importa el orden

3°No se repiten los elementos

Si el ejercicio que se plantea sigue las 3 reglas la formula a aplicar Pn=n! ( Permutacion n es igual a n factorial)

Donde n es el numero de elementos que van a participar en las agrupaciones.

Ejercicios:

1º¿Cuantos numeros de 3 cifras diferentes se pueden formar con los digtos 1,2 y 3?

Pn=n!       P3=3!        3x2x1=6                          123,132,231,213,321,312


2º¿Cuantos grupos diferentes de 3 vocales se pueden formar sin que se  repita los elementos usaqndo las siguientes vocales: A,E,O?

Pn=n!     p3=3!         3x2x1=6                         AEO.AOE.EAO.EOA.OEA.OAE


3º¿Cuantos grupos de 4 elementos se pueden formar con los digitos 3,5,7,9, si no se repiten los elementos?

Pn=n!    P4=4!         4X3X21=24                   3579,3597,3957,3795,3759,5379,5397,5937,5973,
                                                                             5739,5793,7539,7593,7953,79357395,7359,9735,
                                                                             9753,9375,9357,9537,9573. 

4ºAntiguamente los barcos se comunicaban utilizando banderas de diferentes colores.¿Cuantos mensajes distintos se pueden enviar con los colores azul,rojo,verde y negro?
Indiquen cuantos mensajes se harian si se le añde otra bandera de color cafe,En este caso no mostrar las permutaciones.                   

Por 4 banderas                    P4=4!          4X3X2X1=24 mensajes

Por 5 banderas                    P5=5!           5x4x3x2x1=120 mensajes   

            Permutacion con repeticion:                                

Se llama permutaciones con repeticion a los grupos de elemtos que se forman usando n elentos, donde el primer elemento se repite n veces, el segundo tambien se repite n veces y asi consecutivamente hasta llegar al final de la lista.

Estas agrupaciones:

       +Entran todos los elementos

       +Si importa el orden

       +Si se repiten los elementos

La formula para realizar el calculo de las permutaciones con repeticion es:                                                           PRn^abc=Pn/a!b!c!

Ejercicios:

1ºCon las cifras 2,2,2 y 3,3,3,3 y 4,4¿Cuantos numeros de 9 cigras se pueden fromar? 

Si los datos son:

n=9                PR9^342=P9/3!4!2!

a=3

b=4                PR9^342=9x8x7x6x5x4x3x2x1/3*2*1x4*3*2*1x2*1

c=2                 

                        PR9^342=1260 permutaciones con repeticicones

Permutacion circular:

Las permutaciones circulares se utilizan cuando los elementos se van a ordenar en circulo. Por ejemplo, los comensales en una mesa de modo que el primer elemento que se situe en la mesa determina el principio y el fin de la lista.

La formula para la permutacion circular es: 

                                                                       PCn-1=n!

Ejercicio:

De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda

PCn-1=n!

PC8-1=6X6X5X4X3X2X1=5040

Ejercicios:

¿Cuantas palabras se pueden formar con la palabra Alex?

Escriba el listado con las palabras que se pueden formar

Pn=n!                 P4=4!=4X3X2X1= 24 palabras

  *A*             +L+            -E-          #X#

*alex           +lexa         -elax        #xale

*alxe           +leax         -elxa        #xael

*axel           +laex         -exla        #xeal

*axle           +laxe         -exal        #xela

*aexl           +lxae         -ealx        #xlea

*aelx           +lxea         -eaxl        #xlae

¿Cuantas palabras diferentes de 5 letras se pueden formar con la palabra libro?

Pn=n!         P5=5x4x3x2x1= 120 palabras

¿Cuantas palabras diferentes de 6 letras se pueden formar con la palabra "tratar"?

PRn^abc=Pn/a!b!c!

n=6                 PR6^222=P6/2!2!2!

a=2                  PR6^222=6x5x4x3x2x1/2*1x2*1x2*1=90 palabras

b=2

c=2

¿Cuantas palabras de 10 letras se pueden formar utilizando la palabra "temometro"?

PRn^abc=Pn/a!b!c!  

    

PR10^22222=P10/2!2!2!2!2!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1\2*1x2*1x2*1x2*1x2*1=113400 palabras

Principio fundamental del conteo:

La enumeracion o conteo puede parecer un proceso obvio que un estudiante aprende a estudiar aritmetica por primera vez.Pero luego segun parece se presta poca atencion en lo que se refiere el desarrllo mas amplio del conteo conforme el estudiante pasa a areas mas difiles de las amtematicas como el algebra, la geometria, la trigonometria y el calculo.En concecuencia debera servir como advertencia acerca del conteo.

La enumeracion no termina con la aritmetica, tambien tiene aplicaciones en areas como la teoria de codigos, la probabilidad y las estadisticas.

Reglas de la suma y el producto

1ºSi una primera tarea puede realizarze de m formas mientras una segunda tarea puede realizarze de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea para llevar acabo cualquiera de ellas.

2ºSi un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda y si existe m reultados posibles de la primera etapa, para cada uno de estos resultados existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedidmiento total se puede realizar en el orden dado.

1°-¿Qué son las Técnicas de Conteo?

Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. 

2°-¿Cuando se usan las Técnicas de Conteo?

Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.

3°-Menciona las Técnicas de Conteo que conozcas.

Diagrama de árbol, permutaciones, combinaciones, variaciones. 

4°-¿Que es un Diagrama de Árbol?

Un diagrama de árbol o árbol de probabilidad es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de planta.

5°-¿Que son las Permutaciones?

Se llama permutaciones de "n" elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos, siguiendo las siguientes reglas.

1. Entran todos los elementos.
2. Si importa el orden.
3. No se repitan los elementos.

6°-¿Que son las Variaciones?

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m = n) a los distintos grupos formados por n elementos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, de forma que: – No entran todos los elementos.

7°-¿Qué son las combinaciones?

Una combinación es una selección de elementos de una colección, de manera que el orden de selección no importa.

8°-¿Que es una Permutación con Repetición?

Se llama permutaciones con repetición a los grupos de elementos que se forman cuando "n" elementos,donde e primer elemento se repite n veces, el segundo también se repite n veces y así se repiten hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas;

1. Entran todos los elementos.
2. Si importa el orden.
3. Si se repiten los elementos.

9°-¿Cuando se utiliza una Permutación Circular?

Las permutaciones circulares se utilizan cuando los elementos se van a ordenar en circulo.

10°-¿Cual es la formula para una Permutacion Circular?

La formula  para la permutacion circular es PC n-1=n!

Teoría de conjuntos

Teoria de conjuntos

Concepto de Conjuntos:

1-Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que pertenecen y responden a la misma cateoría go grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el mismo conjunto

2-Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.

3-Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común. Es un concepto intuitivo empleado en matemática, que elaboró la teoría de conjuntos.

Concepto de Subconjuntos:

1-Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.

2-Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B. La notación A ⊂ B se lee “A es subconjunto de B”. La notación A ⊄ B se lee “A no es subconjunto de B”.

3-Se da cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro.

Por ejemplo, el conjunto de frutas rojas y el conjunto de frutas amarillas son subconjuntos del conjunto de frutas, puesto que todas las frutas rojas son frutas, y todas las frutas amarillas son frutas también:

Diagrama de Venn:

1-Un Diagrama de Venn es una representación gráfica, normalmente óvalos o círculos, que nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada óvalo o círculo es un conjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.

2-Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios

Ejemplos:

Definición de unión de conjuntos:

En la teoría de conjuntos , la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:

${\displaystyle P=\{2,4,6,\ldots \}}$

${\displaystyle I=\{1,3,5,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\ldots \}}$

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I

Definición de intersección de conjuntos:

La intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D

${\displaystyle P=\{2,4,6,8,10,\ldots \}}$

${\displaystyle C=\{1,4,9,16,25,\ldots \}}$

Complemento de un conjunto:

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

${\displaystyle \mathbf {P} =\{2,3,5,7,\ldots \}}$

${\displaystyle C=\{1,4,6,8,9,\ldots \}}$

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P^∁ = C, y también C = P.

El conjunto en:

Union :

La operación se denomina unión de conjuntos, y da como resultado un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. 

Escrito con símbolos, la unión de dos conjuntos (por ejemplo llamados G y H) se denota así:

 G  ∪  H

Interseccion:

La intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.

Existe un símbolo matemático para la intersección. Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera:

G  ∩ H

Complemento:

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

${\displaystyle \mathbf {P} =\{2,3,5,7,\ldots \}}$

${\displaystyle C=\{1,4,6,8,9,\ldots \}}$

Ley distributiva:

La Ley Distributiva expresa que se obtiene la misma respuesta cuando multiplicas un conjunto de números por otro número que cuando se hace cada multiplicación por separado.

Ejemplo: (2 + 4) × 5 = 2×5 + 4×5.Como se puede ver al realizar los cálculos 6 × 5 = 30 y 10 + 20 = 30.

Entonces, el "2+4" puede ser "distribuido" entre los "por 5" en 2 por 5 y 4 por 5.

Ley de morgan:

Leyes de Morgan. Declarar que la suma de n variables preposicionales globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente y que inversamente, el producto de n variables proposicionales globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente. Demostración formal si y solo si y . para cualquier x: ó Por lo tanto inclusión: ó Con proposiciones. La prueba utiliza la asociatividad y la distributividad de las leyes y . Verdad Si verdad por n.


 Diferencia Simétrica:

 En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

${\displaystyle P=\{2,4,6,8,10,12,14,16,\ldots \}}$

${\displaystyle C=\{1,4,9,16,25,\ldots \}}$

${\displaystyle D=\{1,2,6,8,9,10,12,14,18,\ldots \}}$

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

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 Relación de teoría de conjuntos, booleana, lógica matemática y álgebra

teoría de conjuntos:

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.¹​
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. 

Álgebra booleana:

Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital.
Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole".

Lógica matemática:

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Álgebra:

 Álgebra es una rama de la matemática que emplea números, letras y signos para hacer referencia a las distintas operaciones aritméticas que se realizan. El origen de la palabra álgebra proviene del árabe y significa restauración o reconocimiento de igual forma tiene su significado en el latín y es reducción, aunque no son término idénticos significan lo mismo.